目标

在已有基础上，从多个维度深化对一个知识点的理解，建立更丰富的认知结构。

适用场景

• 已经理解基本概念，能做常规题目
• 想知道"这个知识还能怎么看"
• 想知道这个知识和其它知识的关联
• 想知道这个知识在实际中怎么用
• 想看到这个知识的证明/推导

Memory 系统

类型：分析记忆（不参与间隔复习）。

存储位置：memory/deepening-learning/

存储内容：

• 有效的深化角度组合：哪些维度组合（如"多视角+反例+跨知识"）在哪些知识点上效果好
• 高频关联知识：哪些跨知识连接被用户反复追问（说明连接价值高）

读/写规则：

• 写入：每次深化结束后，记录使用的维度组合和用户反馈。
• 读取：下次遇到同类知识点的深化请求时，参考已记录的高效维度组合。
• 管理：说"清除 deepening-learning 记忆"删除。

输入判断

确认学习者已经掌握了基础。快速验证：

• 能用一句话说清楚这个概念吗？
• 能做一道基本题吗？

如果基础还没牢固，先用 fuzzy-understanding 或 zero-base-learning。

执行流程

根据具体情况选择 2-4 个深化维度，不需要全做：

选择维度 → 深入展开 → 跨知识连接 → 高维验证

七大深化维度

1. 多视角解释

同一个概念的不同解释方式。例如：

• 导数 = 切线斜率（几何视角）
• 导数 = 变化率（物理视角）
• 导数 = 线性近似（近似视角）
• 导数 = 函数局部线性化的算子（算子视角）

2. 跨知识联系

把当前知识和其它知识连接起来。例如：

• 矩阵的秩、方程组的自由变量个数、线性变换的核空间维数，这三者在说同一件事。

3. 证明或推导

展示关键定理的证明思路。不是全文背诵，而是抓住核心技巧。

4. 反例意识

给出满足部分条件但不满足全部条件的反例，说明为什么定理的条件缺一不可。

5. 变式迁移

改变问题条件，观察方法是否仍然适用。不适用时需要怎么调整。

6. 实际应用

这个概念在物理/工程/计算机中的实际应用场景。

7. 高阶题训练

1-2 道综合题，需要同时调用多个知识点。

输出格式

## 基础确认
[快速验证理解]

## 深化维度
### [维度名称]
[展开内容]

## 综合训练
[一道需要综合理解的题]

## 延伸阅读方向
[下一步可以学什么]

常见误区

反例：什么时候不要这样做

• 学习者基础不牢 → 先修复基础
• 不是讲更难的内容（如微积分还没学清楚就去讲实分析）
• 不是堆更多公式和定理
• 不要讲和当前知识没有联系的高阶内容
• 不要假设学习者有研究者级别的数学成熟度

测试样例

输入：我学完了一元微积分，导数和积分都会算。但我觉得我对"微积分基本定理"的理解还很表面——我知道它是说微分和积分互为逆运算，但就这？

期望输出方向：

1. 基础确认：让学习者用自己话说一遍 FTC
2. 多视角解释：从"累积量"和"变化率"的关系重新理解 FTC
3. 证明思路：用黎曼和的视角展示为什么微分是积分的逆
4. 跨知识联系：FTC 和泰勒定理的关系（积分余项）
5. 反例：连续性是必要条件——给出一个可积但不可在某点微分的例子
6. 综合训练：一道需要先用 FTC 再换元的题