论文公式证伪 · 数学硬伤挖掘

目的

回答一个尖锐问题：这篇论文的核心公式，在数学上站得住脚吗？

不是看公式"漂不漂亮"，而是动手验证：照着字面实现会不会跑崩、闭式解是否真等于声称的目标、算法循环会不会死循环。审稿和复现中最致命的往往不是方法平庸，而是核心公式有数学硬伤——一句"comparable performance"背后藏着一个不成立的约束等价。

适用场景

适用范围

所有含数学公式的理工科论文：天线/电磁、信号处理、控制、优化、通信、机器学习理论。核心是"公式可数值验证"。

五类硬伤（速览，详见 references/flaw_taxonomy.md）

四步流程

Step1 核心公式定位 → Step2 三视角纸面审计 → Step3 数值证伪 → Step4 汇总报告

Step 1：核心公式定位

通读全文，挑出 2-4 个"承重公式"——满足任一即查：

• 算法的核心步骤（如 UMP 的 Hankel 构造、MVDR 的闭式解）
• 创新点所在（如新引入的约束、可调因子）
• 决定可复现性（如 steering vector、矩阵构造）

不查所有公式。Review 公式、标准化定义（转置、共轭记号）跳过。聚焦"这篇要是错了，整篇就塌"的那几个。

输出：承重公式清单（编号 + 一句话作用 + 所在节）。

Step 2：三视角纸面审计

对每个承重公式，过一遍 references/checklist.md 的 23 项。三个视角：

视角 A · 符号一致性（最快，覆盖最广）

• 同一符号是否在多处含义不同？（ε 重载类）
• 上下标是否笔误？求和/积分限是否自洽？
• 算法步骤间的变量数据流是否清楚？

视角 B · 量纲/域一致性

• 等式两边量纲是否一致？
• dB 与线性是否混用？实数 vs 复数域？
• 归一化基准是否声明？

视角 C · 约束/目标等价性（最深的硬伤常藏这里）

• 闭式解反推回的约束，是否等于声称的优化目标？
• 声称 min ‖x−y‖，实际是否只实现了一个等式约束？
• 投影/正则化操作的真实数学效果是什么？

输出：疑点清单（公式编号 + 视角 + 具体疑问 + 初判严重度）。

Step 3：数值证伪

⚠️ 铁律：每条 MAJOR/CRITICAL 疑点必须至少跑 1 个数值实验才能定级。

纸面直觉会错。实战中曾出现：纸面判断"宽零陷投影破坏主瓣"，数值验证后发现主瓣损失仅 0.006 dB（CLEARED）。所以数值不是可选的确认步骤，是定级的前置条件。

复制 scripts/falsify_template.py 到工作区，按疑点填充。四类标准实验：

输出：falsify_<公式号>.py + 数值表 + PNG 图。

最小化原则：用最小阵列/最低维度构造能说明问题的场景（如反例用 N=2 即可说明，不必 N=20）。数值实验是为了"证伪/证清白"，不是为了完整复现。

Step 4：汇总报告

输出 formula_audit_report.md，结构：

# <论文标题> 公式证伪报告

## 承重公式清单
| 编号 | 作用 | 所在节 |
|...(2-4个)

## 发现的硬伤
### [严重度] 公式(X)：一句话标题
- **论文声称**：原文摘录
- **实际问题**：数学论证
- **数值证据**：实验N结果（数值表/图）
- **影响**：对复现/对创新声称的影响
- **建议**：勘误/补证明/改措辞

## 复现警示（若复现该论文）
- 别照抄公式(X)，应改为...
- ε 机制先固定阈值跑通，别上自适应

## 定级汇总
| 公式 | 类别 | 严重度 | 是否数值验证 |
|...(每条)

严重度分级

CLEARED 级别很重要：它记录"查过了，没问题"，避免下次重复怀疑，也诚实承认数值验证会推翻纸面担忧。

关键纪律

1. 数值验证是 MAJOR/CRITICAL 的前置条件——不跑数值不能定这两级。纸面分析只能给"疑点（待验证）"。
2. 聚焦承重公式——不分散精力查所有公式，2-4 个核心的足够。
3. 每条硬伤给可操作建议——勘误成什么、补什么证明、措辞怎么改，不能只说"有问题"。
4. 诚实记录 CLEARED——数值验证推翻了纸面担忧时，明确写出"初判X，数值验证后为 CLEARED"，这是 skill 的可信度来源。

输入与产出

输入：论文 PDF / 已提取的公式（可用 paper-parser 先提取结构化公式）

产出（写入工作区）：

• formula_audit_report.md — 人类可读的证伪报告
• falsify_*.py — 数值实验脚本（可复用）
• *.png — 数值图（退化曲线、反例对比、敏感性扫描）

与其他 skill 的关系

参考文件

• references/checklist.md — 23 项检查清单（分 5 类，每项含查什么/怎么查/红旗信号）
• references/flaw_taxonomy.md — 5 类硬伤的定义、识别特征、经典案例
• references/two-stage-review-workflow.md — 与 academic-paper-reviewer 的两阶段分工流程（广度筛疑点 + 深度数值验证）。当你的审稿任务既要覆盖逻辑/统计/创新层、又要查数学硬伤时，按此文档分工，避免单 skill 误报。
• scripts/falsify_template.py — 数值证伪脚本模板（4 实验骨架，按目标公式填充）